Le théorème des probabilités fait peau neuve après 250 ans

La probabilité que vous attribuez à un événement dépend de ce que vous pensez déjà des circonstances. C’est le concept simple qui sous-tend la règle de Bayes, une approche du calcul des probabilités proposée pour la première fois en 1763. Aujourd’hui, une équipe internationale de chercheurs a démontré comment la règle de Bayes s’applique dans le monde quantique.

« Je dirais qu’il s’agit d’une avancée majeure en physique mathématique », a déclaré le professeur Valerio Scarani, directeur adjoint et chercheur principal au Centre for Quantum Technologies, et membre de l’équipe.

« La règle de Bayes nous aide à faire des suppositions plus intelligentes depuis 250 ans. Nous lui avons maintenant enseigné quelques astuces quantiques », a ajouté pour sa part le professeur Buscemi.

Si des chercheurs avant eux avaient proposé des analogues quantiques à la règle de Bayes, ils sont les premiers à dériver une règle de Bayes quantique à partir d’un principe fondamental.

Probabilité conditionnelle

La règle de Bayes doit son nom à Thomas Bayes, qui a été le premier à définir ses règles pour les probabilités conditionnelles dans « An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances » (Essai pour résoudre un problème dans la doctrine des chances).

Prenons le cas d’une personne dont le test de dépistage de la grippe est positif. Elle se doutait peut-être d’être malade, mais cette nouvelle information va changer sa perception de son état de santé. La règle de Bayes fournit une méthode pour calculer la probabilité d’avoir la grippe en fonction non seulement du résultat du test et des chances que le test donne une réponse erronée, mais aussi des croyances initiales de l’individu.

La règle de Bayes interprète les probabilités comme exprimant des degrés de croyance en un événement. Ce point fait depuis longtemps l’objet d’un débat, car certains statisticiens pensent que les probabilités doivent être « objectives » et ne pas reposer sur des croyances. Cependant, dans les situations où des croyances sont en jeu, la règle de Bayes est acceptée comme un guide de raisonnement. C’est pourquoi elle est largement utilisée, du diagnostic médical et des prévisions météorologiques à la science des données et à l’apprentissage automatique.

Principe du changement minimal

Lors du calcul des probabilités à l’aide de la règle de Bayes, le principe du changement minimal est respecté. Mathématiquement, le principe du changement minimal minimise la distance entre les distributions de probabilité conjointes de la croyance initiale et de la croyance mise à jour. Intuitivement, cela signifie que pour toute nouvelle information, les croyances sont mises à jour de la manière la plus minimale possible compatible avec les nouveaux faits. Dans le cas du test de la grippe, par exemple, un test négatif n’impliquerait pas que la personne est en bonne santé, mais plutôt qu’elle est moins susceptible d’avoir la grippe.

Dans leurs travaux, le professeur Scarani, également du département de physique de l’Université nationale de Singapour, le professeur adjoint Bai et le professeur Buscemi ont commencé par établir un analogue quantique au principe du changement minimal. Ils ont quantifié le changement en termes de fidélité quantique, qui est une mesure de la proximité entre les états quantiques.

Les chercheurs ont toujours pensé qu’une règle de Bayes quantique devait exister, car les états quantiques définissent les probabilités. Par exemple, l’état quantique d’une particule fournit la probabilité qu’elle se trouve à différents endroits. L’objectif est de déterminer l’état quantique dans son ensemble, mais la particule ne se trouve qu’à un seul endroit lorsqu’une mesure est effectuée. Cette nouvelle information met alors à jour la croyance, augmentant la probabilité autour de cet endroit.

L’équipe a dérivé sa règle de Bayes quantique en maximisant la fidélité entre deux objets qui représentent le processus direct et le processus inverse, par analogie avec une distribution de probabilité conjointe classique. Maximiser la fidélité équivaut à minimiser le changement. Ils ont constaté que dans certains cas, leurs équations correspondaient à la carte de récupération de Petz, proposée par Dénes Petz dans les années 1980 et identifiée par la suite comme l’une des candidates les plus probables pour la règle de Bayes quantique, sur la base de ses propriétés.

« C’est la première fois que nous la dérivons d’un principe supérieur, ce qui pourrait valider l’utilisation de la carte de Petz », a conclu le professeur Scarani. La carte de Petz a des applications potentielles dans l’informatique quantique pour des tâches telles que la correction d’erreurs quantiques et l’apprentissage automatique. L’équipe prévoit d’étudier si l’application du principe du changement minimal à d’autres mesures quantiques pourrait révéler d’autres solutions.

Ses coauteurs dans l’article publié le 28 août 2025 dans Physical Review Letters sont le professeur adjoint Ge Bai de l’Université des sciences et technologies de Hong Kong en Chine, et le professeur Francesco Buscemi de l’Université de Nagoya au Japon.

Article : « Quantum Bayes’ Rule and Petz Transpose Map from the Minimum Change Principle’ – DOI : 10.1103/5n4p-bxhm

Source : NUS