Whitney Clavin
La croissance des colonies bactériennes, l’accumulation de la neige pendant une tempête et la propagation d’un feu de forêt sont des événements aléatoires et apparemment sans lien, pourtant ils suivent tous des lois mathématiques universelles. Le nouveau professeur assistant de mathématiques de Caltech, Lingfu Zhang, souhaite élucider les mathématiques derrière ces modèles de croissance et comprendre comment et pourquoi ces mathématiques sont si répandues.
Zhang étudie la théorie des probabilités, avec un accent particulier sur un domaine appelé l’universalité KPZ, où KPZ reflète les noms de famille des trois scientifiques — Mehran Kardar, Giorgio Parisi et Yi-Cheng Zhang — qui ont été les pionniers de la théorie et de son équation définitive en 1986.
« Même lorsque ces processus de croissance semblent très différents de près, lorsque vous zoomez, leur forme globale et leur caractère aléatoire suivent souvent les mêmes lois sous-jacentes », explique-t-il.
Zhang, qui a grandi dans la province du Sichuan en Chine, a obtenu deux licences en mathématiques et en informatique du MIT en 2017. Il a obtenu un doctorat en mathématiques de l’Université de Princeton en 2022. Avant de rejoindre Caltech à l’été 2024, il a été chercheur postdoctoral à l’UC Berkeley.
Nous avons parlé avec Zhang pour en savoir plus sur sa quête de relations plus profondes qui relient les modèles de la nature.
Étiez-vous intéressé par les mathématiques quand vous étiez jeune ?
« J’ai participé à des compétitions de Mathématiques Olympiques au lycée, mais après avoir obtenu mon diplôme, j’étais un peu fatigué des maths. J’ai passé ma première année d’université à étudier l’architecture. Ensuite, j’ai passé une autre année à apprendre l’informatique. À la fin de mes études universitaires, j’avais redécouvert ma passion pour les mathématiques. Aujourd’hui, j’apprécie toujours cette sensation de logique rigoureuse où l’on utilise son cerveau pour résoudre des problèmes d’une manière impossible en architecture ou en ingénierie. J’aime la gymnastique qui se produit dans mon cerveau. »
Qu’est-ce qui vous a attiré vers la théorie des probabilités ?
« En probabilités, les problèmes peuvent être énoncés d’une manière que même les étudiants de première année de doctorat peuvent comprendre. C’est très clair et il y a beaucoup de beaux exemples tirés de la vie réelle. C’est des mathématiques mais pas extrêmement abstraites. »
« La théorie des probabilités remonte à la Renaissance et trouve ses racines dans les travaux du polymathe italien Girolamo Cardano qui a analysé les jeux de hasard, comme les jeux d’argent impliquant des cartes ou des dés. Au milieu du XXe siècle, les biologistes et les physiciens s’y sont intéressés car elle s’est avérée utile dans de nombreux systèmes physiques. Par exemple, l’universalité KPZ, une famille de modèles en théorie des probabilités, a d’abord été formulée par des physiciens pour décrire des processus de croissance tels que la croissance des bactéries, les agrégats de fumée, les fronts de flamme, les tumeurs, etc. »
« Mais la théorie est restée assez mystérieuse pour les mathématiciens pendant longtemps. À partir de 2000, les mathématiciens ont réussi à résoudre avec précision la distribution de probabilité pour certains de ces processus de croissance. Les physiciens avaient initialement proposé une équation différentielle pour la théorie KPZ, mais il s’avère que les mathématiciens ont utilisé l’algèbre, spécifiquement la théorie des représentations, pour résoudre l’équation plus précisément. »
Pouvez-vous expliquer ce que signifie l’universalité dans votre domaine ?
« L’universalité est la notion qui remonte aux tout débuts de la théorie des probabilités. Il s’agit de différents systèmes qui présentent les mêmes comportements à grande échelle. »
« Au XVIe ou XVIIe siècle, le premier théorème en probabilités concernait quelque chose appelé la distribution gaussienne, que vous connaissez peut-être sous le nom de courbe en cloche. Supposons que vous mesuriez la taille des membres d’une population et que vous la représentiez graphiquement. Les tailles seraient distribuées aléatoirement — elles auraient une distribution gaussienne. Pendant un temps, la gaussienne était la seule chose universelle que les gens connaissaient sur le hasard. Mais plus tard, on s’est rendu compte que de nombreux processus de croissance suivent une distribution différente, appelée la loi de Tracy–Widom, [découverte en 1994 par Craig Tracy et Harold Widom]. C’est aussi aléatoire mais pas gaussien. Si vous pensez à la neige qui tombe et s’accumule, par exemple, la neige interagit avec elle-même, ce qui rend le processus plus complexe. Cela suivra une distribution de Tracy–Widom. »
Les distributions gaussienne et de Tracy-Widom. Crédit : Caltech
Les distributions gaussienne et de Tracy-Widom. Crédit : Caltech
« Il s’avère que cette loi de Tracy–Widom peut également s’appliquer à d’autres contextes, comme les réseaux sociaux et la formation d’embouteillages, et plus encore. Dans ces processus de croissance, la loi de Tracy-Widom est la distribution de probabilité qui résout l’équation KPZ en un point ou un emplacement. Donc, si vous utilisiez l’équation KPZ pour décrire la chute de la neige, les fluctuations aléatoires de la hauteur de neige à un point donné suivraient la loi de Tracy–Widom. En d’autres termes, la loi de Tracy–Widom est un aspect clé de la théorie KPZ plus complète ; et historiquement, elle a également joué un rôle central dans son développement au cours des dernières décennies. Je veux comprendre les mathématiques derrière l’universalité de Tracy–Widom, et son apparition dans KPZ. »
Quels sont certains problèmes spécifiques que vous avez résolus ?
« Un de mes travaux a prouvé mathématiquement la présence des lois de Tracy–Widom dans le temps d’exécution d’algorithmes de tri aléatoires, et un autre ensemble de mes travaux a développé des techniques pour prouver les lois de Tracy–Widom dans les matrices aléatoires. Un autre problème intrigant sur lequel je travaille est de prouver mathématiquement la loi de Tracy–Widom observée dans des processus de croissance plus généraux. Prenons l’exemple de la croissance des colonies d’E. Coli — cela a été résolu en supposant que les bactéries se reproduisent de certaines manières particulières, mais le cas plus général reste un problème assez difficile, une version de la « conjecture forte de l’universalité KPZ ».
Comment trouvez-vous Caltech jusqu’à présent ?
« J’aime vraiment la petite taille. Il est très pratique de parler à n’importe qui. Si vous avez des demandes ou besoin de ressources, il est facile de trouver quelqu’un, même à un très haut niveau. De plus, les étudiants ici sont brillants. Je peux leur donner quelque chose à travailler, et ils reviennent vers moi quelques jours plus tard, après avoir fait des progrès sur des tâches que je pensais prendraient des mois à accomplir ! »
« J’aime aussi l’accent mis sur la science et l’ingénierie ici. Mon travail est lié à d’autres disciplines comme la physique et l’informatique, et la petite taille et les relations interpersonnelles étroites signifient qu’il y a plus de chances d’interactions. »
Qu’aimez-vous le plus dans le fait de faire des mathématiques ?
« Comme je l’ai découvert à l’université, je sens que la recherche théorique n’est pas limitée de la même manière qu’elle peut l’être en ingénierie ou dans les études expérimentales. Il y a des limites à ce qui peut être réalisé dans la vie réelle, mais en mathématiques, il n’y a pas de barrières infranchissables. Tout se résume à ce que vous pouvez imaginer. J’aime aussi que les mathématiques soient universelles. C’est vrai sur Terre et sur tout autre monde que nous pourrions découvrir. »
Source : Caltech
